LEHRSTUHL A FÜR MATHEMATIK                                           [24.mws]
    Prof. Dr. E. Görlich
                                                                          Sommersemester 2000
                                                                          29.06.2000

                                             MAPLE  für ANALYSIS II
                                             =====================
    23) Potentialfeld (potential)
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    Zu Uebung 10, Aufgabe 1:

    Man zeige, dass es keine stetig differenzierbare Funktion f von IR^3; nach IR; gibt derart,
    dass fuer alle [x, y, z]; in IR^3; gilt
    > grad(f(x,y,z)) = [y^2*z, 2*x*y*z, x*y^2+y]; .

    Diese Aufgabe soll hier per Widerspruchsbeweis geloest werden.
    Wenn man Maple dazu einsetzen will, muss man das passende Stichwort kennen: "Potential".

    Definition:
    Sei U eine offene Teilmenge des IR^n; und f eine Abbildung von U nach IR^n . Die
    Abblidung f heisst ein Gradientenfeld (Potentialfeld), wenn eine partiell differenzierbare
    Funktion Phi von U nach IR existiert, so dass f = grad(Phi) ist. Die Funktion Phi heisst dann
    ein Potentialvon f auf U.

    Die Aufgabe lautet also: "Ist f ein Potentialfeld?"
    > ?potential
    Das Programm "potential" liegt im Package "linalg".
    > restart:
    > with(linalg):
    Wir behandeln zuerst 6 andere, aehnliche Beispiele und kehren dann zu obiger Aufgabe zurueck.
    > f1:=[3*y,x*z,y*z^2];
    > f2:=[u^2+u*v*sin(t*u*v),2*t*u+w+t*v*sin(t*u*v),1+t*u*sin(t*u*v),u];
    > f3:=[-y/(x^2+y^2), x/(x^2+y^2)];
    > f4:=[x+y,y+z,x+z];
    > grad(exp(x^3)*ln(y)*sin(z),[x,y,z]);
    > f5:=convert(%,list);
    > f6:=[3*x^2*exp(x^2)*ln(y)*sin(z),exp(x^3)/y*sin(z),exp(x^3)*ln(y)*cos(z)];
    > ?potential
    > potential(f1,[x,y,z],V);
    > potential(f2,[t,u,v,w],V);
    > V;
    Jetzt ist V belegt, und ein erneuter Aufruf mit V fuehrt zu einer Fehlermeldung.
    > potential(f3,[x,y],V);
    Deshalb muss V zunaechst freigegeben werden:
    > V:='V':
    > potential(f3,[x,y],V);
    > V;
    > V:='V':
    > potential(f4,[x,y,z],V);
    > potential(f5,[x,y,z],V);
    > V;
    > V:='V':
    > potential(f6,[x,y,z],V);
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    Zu Uebung 10, Aufgabe 1:
    Man zeige, dass die folgende Funktion F kein Potentialfeld definiert:
    > F:=[y^2*z,2*x*y*z,x*y^2+y];
    > potential(F,[x,y,z],V);
    >