LEHRSTUHL A FÜR MATHEMATIK                                           [21.txt]
     Prof. Dr. E. Görlich
                                                                          Sommersemester 2000
                                                                          08.06.2000

                                              MAPLE  für ANALYSIS II
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     20) Hypergeometrische Funktion, Assoziierte Legendre-Funktion erster Art
         (trace, untrace, LegendreP)
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     Problem: Warum liefert Maple fuer hypergeom([2*k+2, k+1],[2+k],-t^2) an der Stelle t=
     tan(Pi/4)=1 trotz der Divergenz der Reihe einen endlichen Wert? Wir versuchen, Zwischen-
     ergebnisse bei "simplify(  ,hypergeom)" abzufangen mittels "trace":
     > restart:
     > trace(simplify);
     > simplify(t^(2*k+2)*2^(2*k+1)*hypergeom([2*k+2, k+1],[2+k],-t^2)/(k+1),hypergeom);
     -->> Maple benutzt eine Darstellung der hypergeometrischen Funktion mittels einer
     Assoziierten Legendre-Funktion erster Art: LegendreP(k,-k-1,-(t^2-1)/(1+t^2)).
     Diese kann an der Stelle t=1 (also -(t^2-1)/(1+t^2)=0) noch sinnvoll definiert werden.
     > untrace(simplify);
     > restart:
     > ?LegendreP
     Probe: Setze k=3 und t=1 in der obigen Darstellung. Dann muesste das Ergebnis 16/35 aus
     Paragraph 19 erscheinen.
     > k:=3:
     ##################################################################
     > t^(2*k+2)*2^(2*k+1)*(-t^2)^(-1/2*k-1/2)*(1+t^2)^(-k-1)*LegendreP(k,-k-1,-(t^2-1)/(1+t^2))*
     GAMMA(2+k)/(k+1);
     > t:=1:
     > t^(2*k+2)*2^(2*k+1)*(-t^2)^(-1/2*k-1/2)*(1+t^2)^(-k-1)*LegendreP(k,-k-1,-(t^2-1)/(1+t^2))*
     GAMMA(2+k)/(k+1);
     OK.
     Literatur: Abramowitz-Stegun, Handbook of Mathematical Functions, S. 332 ff.