MAPLE für ANALYSIS II [19.txt] ===================== LEHRSTUHL A FÜR MATHEMATIK Prof. Dr. E. Görlich Sommersemester 2000 25.05.2000 18) Gliedweise Integration und Differentiation von Potenzreihen (binomial, Beta, convert( ,GAMMA), convert( , factorial), Doppelfakultaet, Zeta, convert( ,binomial)) ================================================================================ Zu Uebung 7, Aufgabe 1 a): > 4/3*Int(arcsin(x)/sqrt(1-x^2),x=0..1)=4/3*int(arcsin(x)/sqrt(1-x^2),x=0..1); Dasselbe in Handarbeit: > student[changevar](x=sin(t),4/3*Int(arcsin(x)/sqrt(1-x^2),x=0..1),t); > simplify(%); > ?csgn Offenbar ist csgn(t)=1 fuer t>0, und das Integral = > 4/3*int(t,t=0..Pi/2); OK ========================================================== Zu Uebung 7, Aufgabe 1 b): Reihenentwicklung > with(share): > with(FPS): > FPS(1/sqrt(1-x),x=0); Kontrolle: > (-1)^(k)*binomial(-1/2,k)-(2*k)!*4^(-k)/(k!^2); > expand(%); > convert(%,GAMMA); > convert(%%,factorial); > test1:=unapply((-1)^(k)*binomial(-1/2,k)-(2*k)!*4^(-k)/(k!^2),k); > test1(1); > seq(test1(k),k=2..20); > {seq(test1(k),k=2..200)}; OK ============================================================ Darstellung des Resultats mittels der Definition des Binomialkoeffizienten: > ?binomial If the arguments are both positive integers with 0 <= r <= n, then binomial(n, r) = n!/r!/(n-r)! Allgemein gilt: binomial(n, r) = limit(GAMMA(N+1)/(GAMMA(R+1)/GAMMA(N-R+1),R=r,N=n) > test1(k); > ?simplify > ?product > test2:=k->binomial(-1/2,k)-(-1)^(k)*1/GAMMA(k+1)*product(j-1/2,j=1..k); > test2(1); > test2(5); > test2(34); OK ================================================================ Darstellung des Resultats mittels der Verdopplungsformel aus Uebung 5, Aufgabe3: Aus der Verdopplungsformel erhalte: > test3:=k->-(2*k)!*4^(-k)/(k!^2)+(-1)^(k)*1/GAMMA(k+1)*product(j-1/2,j=1..k); > test3(6); > test3(36); Ergebnis: Koeffizient von x^k ist =(-1)^(k)*1/GAMMA(k+1)*product(j-1/2,j=1..k) oder =(-1)^k*binomial(-1/2,k) ============================================================= Zu Uebung 7, Aufgabe 1 c) Reihenentwicklung, gliedweise Integration > FPS(arcsin(x),x=0); Umrechnung in Fakultaeten: > test1(k); "subs" funktioniert nicht: > subs(-(2*k)!*4^(-k)/(k!^2)=(-1)^k*binomial(-1/2,k),%%); Ergebnis: > arcsin(x)=Sum((-1)^k*binomial(-1/2,k)*x^(2*k+1)/(2*k+1),k = 0 .. infinity); Dasselbe in Einzelschritten, ausgehend vom Ergebnis von Aufgabe 1 b): Wegen > diff(arcsin(t),t); bietet sich Einsetzen von x=t^2 und gliedweise Integration der unter Aufgabe 1 b) erhaltenen Reihe an: > int(1/sqrt(1-t^2),t=0..x);int(Sum((-1)^k*binomial(-1/2,k)*t^(2*k),k = 0 .. infinity),t=0..x); Das Ergebnis stimmt mit dem obigen ueberein. ============================================================== Zu Uebung 7, Aufgabe 1 d) Integration, Betafunktion > restart: > Int(x^(2*k+1)/sqrt(1-x^2),x=0..1)=int(x^(2*k+1)/sqrt(1-x^2),x=0..1); > assume(k,posint);about(k); > Int(x^(2*k+1)/sqrt(1-x^2),x=0..1)=int(x^(2*k+1)/sqrt(1-x^2),x=0..1); > ?Beta The Beta function is defined as follows: Beta(x,y) = (GAMMA(x) * GAMMA(y))/GAMMA(x+y) Probe: Differenz des Maple-Ergebnisses und des Wertes aus der Aufgabenstellung: > test4:=k->1/2*Beta(1/2,k+1)-(-1)^k*binomial(-1/2,k); > about(k); > test4(1); > test4(10); Es sollte gelten: test4(k)=0 fuer alle natuerlichen k. ============================================================= Wo liegt der Fehler? Auswertung des Integrals in Einzelschritten: Differenziere die Entwicklung von Aufgabe 1 c) gliedweise und multipliziere sie mit t^(2*K+1): > assume(K,posint): about(K); > t^(2*K+1)*diff(arcsin(t),t)=Sum((-1)^k*binomial(-1/2,k)*t^(2*k+1+2*K),k = 0 .. infinity); > int(lhs(%),t=0..1); > eval(%,K=1); > int(rhs(%%%),t=0..1); > eval(%,K=1); > evalf(%); Dasselbe fuer andere Werte von K: > test5:=K->int(t^(2*K+1)*diff(arcsin(t),t),t=0..1); > test5(1);evalf(test5(2));evalf(test5(3));evalf(test5(4)); > test6:=K->Sum((-1)^k*binomial(-1/2,k)/(2+2*k+2*K),k = 0 .. infinity); > evalf(test6(1)); > evalf(test6(2));evalf(test6(3));evalf(test6(4)); OK. Teste das Integral numerisch fuer k=3: > k:=3:student[middlesum]((x^(2*k+1)/sqrt(1-x^2),x=0..1),4000); > evalf(%); > evalf(Beta(1/2,k+1)/2); OK. ====================================================== Korrektur : Fuer natuerliches K gilt: > Int(t^(2*K+1)/sqrt(1-t^2),t = 0 .. 1); = Sum((-1)^k*binomial(-1/2,k)/(2*k+2+2*K), k = 0 .. infinity); ====================================================== Zu Aufgabe 1 e): > Sum(1/(2*k+1)^2,k=0..infinity)=sum(1/(2*k+1)^2,k=0..infinity); > Zeta(2); > ?zeta The Zeta function is defined for Re(z)>1 by Zeta(z) = sum(1/i^z, i=1..infinity) =========================================================== Korrigierte Aufgabenstellung zu A 1d): > Int(x^(2*k+1)/sqrt(1-x^2),x = 0 .. 1); = (2*k)!!/(2*k+1)!! = (-1)^k/binomial(-3/2,k) Verifiziere Uebereinstimmung mit unserer Loesung: > test7:=k->(2*k)!!/(2*k+1)!!; > ?! > ?inifunctions Doppelfakultaet scheint nicht (mehr) vorhanden zu sein. > test8:=k->(-1)^k/binomial(-3/2,k); > map(test8,[1,2,3,4]); > `test4neu`:=k->1/2*Beta(1/2,k+1); > map(test4neu,[1,2,3,4]); -->> stimmt ueberein. =================================================== Eigene Definition einer "Doppelfakultaet"-Funktion: > `!!`:=k->product(k-2*j,j=0..floor(k/2-1)); Probe: > `!!`(2); > `!!`(4); > `!!`(6); > `!!`(1); > `!!`(3); > `!!`(5); > test9:=k->`!!`(2*k)/`!!`(2*k+1); > map(test9,[1,2,3,4]); > map(test4neu,[1,2,3,4]); -->> stimmt ueberein. ============================================================= Maple kann die Summe, die wir erhalten haben, in ein Binom umwandeln: > test11:=K->sum((-1)^k*binomial(-1/2,k)/(2*k+2+2*K),k = 0 .. infinity); > simplify(test11(K),GAMMA); > convert(%,binomial); > test10:=unapply(%,K); Probe: > map(test10,[1,2,3,4]); > map(test11,[1,2,3,4]); Zum Vergleich die alten Werte: > test12:=k->1/2*Beta(1/2,k+1); > map(test12,[1,2,3,4]);