#                                          MAPLE  für ANALYSIS II
     #                                          =====================
     # LEHRSTUHL A FÜR MATHEMATIK                                                [18.mws]
     # Prof. Dr. E. Görlich
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     #                                    Sommersemester 2000
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     #                                    18.05.2000
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     # 17) Punktweise bzw. gleichmaessige Konvergenz von Funktionenfolgen
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     # Zu Uebung 6, Aufgabe 1 i):
     > f:=(n,x)->1/(1+n*x);
     > plot([f(3,x),f(5,x),f(8,x),f(15,x),f(30,x)],x=0..1);
     # Grenzwert: 1, falls x=0, 0 falls 0<x<=1.
     > limit(f(n,x),n=infinity);
     # Maple ueberlaesst dem Benutzer die Feststellung, dass dies nur fuer
     # 0<x<=1 richtig ist!
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     # Zu Uebung 6, Aufgabe 1 ii):
     > g:=(n,x)->n*sin(n*x)/(n^2+x^2);
     > plot([g(3,x),g(10,x),g(30,x)],x=-4..20,color=[red,blue,black]);
     > limit(g(n,x),n=infinity);
     # Dies ist richtig und bedeutet gleichmaessige Konvergenz gegen Null,
     # denn
     # g(n,x)<=n/(n^2)=1/n.
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     # Zu Uebung 6, Aufgabe 2 b):
     # Man zeige:
     > limit(Sum(2^k*(n/(n+2))^k/k!,k = 0 .. n),n = infinity);#  = exp(2); .
     > restart:
     > limit(Sum(2^k*(n/(n+2))^k/k!,k = 0 .. n),n = infinity);
     > sum(2^k*(n/(n+2))^k/k!,k = 0 .. n);
     > expand(%);
     > simplify(%,power,GAMMA);
     > test1:=limit(%,n=infinity);
     > limit(GAMMA(n+1,2*n/(n+2))/GAMMA(n+1),n=infinity);
     > eval(%);evalf(%);
     > evalf(%-1);
     > test1;
     > evalf(limit(exp(2*n/(n+2)),n=infinity));
     > evalf(%-exp(2));
     # Dies ist lediglich eine Verifikation der Behauptung.
     # Herleitung des Grenzwerts mittels der Taylorformel:
     # Es gilt nach Vorlesung, Satz VI.3.5 (Lagrange-Restglied):
     > exp(x);# = Sum(x^k/k!,k = 0 .. n-1)+x^n*exp(theta*x)/n!;  fuer ein
     # theta; zwischen 0 und 1.
     # Daraus folgt fuer beliebiges festes x:
     > limit(x^n*exp(theta*x)/n!,n=infinity);
     # Also Limit(exp(x)-Sum(x^k/k!,k = 0 .. n),n = infinity); = 0.
     # Setzt man hier x = x[n];=2*n/(n+2) ein, so folgt:
     # limit(Sum(x[n]^k/k!,k = 0 .. n),n = infinity); =
     > limit(exp(2*n/(n+2)),n=infinity);
     # Das ist die Behauptung.
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     # Vertauschung eines Grenzwerts mit Integration:
     # Uebung 6, Aufgabe 3 a):
     > f:=(n,x)->n*x*exp(-n*x);
     > plot([f(2,x),f(4,x),f(7,x),f(21,x)],x=0..1);
     # Es liegt punktweise Konvergenz gegen Null vor, aber keine
     # gleichmaessige Konvergenz.
     > Int(Limit(f(n,x),n=infinity),x=0..1);
     > evalf(%);
     > evalf(Limit(f(n,x),n=infinity));
     > Int(Limit(f(n,x),n=infinity),x=0.01..1);
     > evalf(%);
     > n:=10^5;int(f(n,x),x=0.01..1);
     > n:=10^6;int(f(n,x),x=0.01..1);
     # --> linke Seite =0.
     > n:='n':limit(Int(f(n,x),x=0..1),n=infinity);
     > int(f(n,x),x=0..1);
     > limit(%,n=infinity);
     # --> rechte Seite =0.
     # Die Vertauschung von Grenzwert und Integral ist hier erlaubt, obwohl
     # die Voraussetzung des Vertauschungssatzes VIII.2.5 (gleichmaessige
     # Konvergenz) nicht erfuellt ist.
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     # Vertauschung eines Grenzwerts mit Differentiation:
     # Uebung 6, Aufgabe 3 b) i):
     > f:=(n,x)->sin(n^2*x)/n;
     # Pruefe die Voraussetzung des Vertauschungssatzes VIII.2.8:
     # Konvergenz der Folge in einem beliebigen Punkt x:
     > limit(f(n,x),n=infinity);
     # gleichmaessige Konvergenz der Folge der Ableitungen liegt nicht vor:
     > diff(f(n,x),x);
     > limit(diff(f(n,x),x),n=infinity);
     # Pruefe, ob Vertauschung trotzdem moeglich ist:
     # Linke Seite:
     > diff(limit(f(n,x),n=infinity),x);;
     # Rechte Seite:
     > limit(diff(f(n,x),x),n=infinity);
     # -->> Vertauschung nicht moeglich
     # ======================================================================
     # Uebung 6, Aufgabe 3 b) ii):
     > f:=(n,x)->Sum(sin(k^4*x)/k^2,k=1..n);
     # Konvergenz der Folge in einem beliebigen Punkt x:
     # Pruefe die Voraussetzung des Vertauschungssatzes VII.2.8:
     #
     > limit(f(n,x),n=infinity);
     > limit(f(n,0),n=infinity);
     > limit(Sum(2/Pi*(k^4*0.01)/k^2,k=1..n),n=infinity);evalf(%);
     # gleichmaessige Konvergenz der Folge der Ableitungen liegt nicht vor:
     > limit(diff(f(n,x),x),n=infinity);
     # linke Seite: nicht definiert
     # rechte Seite:
     > limit(diff(f(n,x),x),n=infinity);
     # ======================================================================
     # Vertauschung eines Grenzwerts mit Differentiation:
     # Uebung 6, Aufgabe 3 b)  iii)
     > f:=(n,x)->cos(n^2*x)/n^3;
     # Konvergenz der Folge in einem beliebigen Punkt x:
     # Pruefe die Voraussetzung des Vertauschungssatzes VII.2.8:
     > limit(f(n,0),n=infinity);
     # gleichmaessige Konvergenz der Folge der Ableitungen liegt hier vor:
     > limit(diff(f(n,x),x),n=infinity);
     # linke Seite:
     > diff(limit(f(n,x),n=infinity),x);
     # rechte Seite:
     > limit(diff(f(n,x),x),n=infinity);
     # --> Vertauschung ist erlaubt.