# 15) Beta- und Gammafunktion                                   [16.txt]
     # (Beta, GAMMA, numerische Evidenz)
     # =============================================================
     # Zu Uebung 5, Aufgabe 2.
     > ?Beta
     # The Beta function is defined as follows:
     #
     #       Beta(x,y) = (GAMMA(x) * GAMMA(y))/GAMMA(x+y)
     > int(x^(s-1)*(1-x)^(t-1),x=0..1);
     > assume(s>0,t>0);
     > about(s);about(t);
     > int(x^(s-1)*(1-x)^(t-1),x=0..1);
     # In der Formel Beta(x,y) = (GAMMA(x) * GAMMA(y))/GAMMA(x+y)
     # setze x=y=1/2:
     > int(x^(-1/2)*(1-x)^(-1/2),x=0..1);
     # Der gesuchte Wert "s" von GAMMA(1/2) ergibt sich daraus zu
     > s:=sqrt(Pi*GAMMA(1));
     # Probe: Maple berechnet GAMMA(1/2); auch direkt:
     > GAMMA(1/2);
     # Analog fuer "S"=GAMMA(3/2); :
     # Setze x=y=3/2:
     > int(x^(1/2)*(1-x)^(1/2),x=0..1);
     > S:=sqrt(Pi/8*GAMMA(3));
     # Probe:
     > GAMMA(3/2);
     # ====================================================
     # Zu Uebung 5, Aufgabe 2 e):
     # Welche Funktion wird durch das uneigentliche Integral
     > Int(abs(ln(x))^t,x = 0 .. 1);#  fuer t>0 dargestellt?
     > restart;
     > student[changevar](ln(x)=-t, -Int(ln(x)^z,x=0..1),t);
     > test1:=z->-exp(I*Pi*z)*Int((t)^z/exp(t),t = 0 .. infinity);
     > evalc(exp(I*Pi));
     >  test2:=z->exp(I*Pi*z)*GAMMA(z+1);
     > ?GAMMA
     # Probe mit z=2:
     > simplify(test1(2)+test2(2),GAMMA);
     > evalf(%);
     # Probe mit z=1/2:
     > simplify(test1(1/2)+test2(1/2),GAMMA);
     > evalf(%);
     # Probe mit z=5/2 ("numerische Evidenz"):
     > simplify(test1(5/2)+test2(5/2),GAMMA);
     > evalf(%);
     > evalf(%%,40);
     # Ergebnis:
     # Int(abs(ln(x))^z,x = 0 .. 1) = -exp(I*Pi*z)*GAMMA(z+1);, falls z>0.