6) "taylor", "series", FPS-package, eine Uebungsaufgabe
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    Maple hat zwar Befehle zur Darstellung von ersten Summanden von
    Reihenentwicklungen, kann gegebene unendliche Reihen bearbeiten,
    aber keinen Befehl, der eine vollstaendige Taylorreihe einer gegebenen
    Funktion erzeugt. (Zumindest nicht in dem Bereich der Standard-Befehle).

    Insbesondere hat Maple keinen Standard-Befehl, der eine n-te Ableitung
    fuer SYMBOLISCHES n liefert.

    Der Befehl "taylor"
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    > restart;
    > ?taylor
    > taylor(cos(x),x=0,8);
    > taylor(cos(x),x=0,7);
    > taylor(cos(x),x=0,9);
    > taylor(cos(x),x=0,10);
    > taylor(cos(x),x=0,n);
    > taylor(cos(x),x=0,infinity);
    Man beachte die Unterschiede: Beim ersten Befehl haben wir die exakte Restgliedabschaetzung
    O(x^8) erhalten, d.h. es existieren eine Umgebung U von x=0 und eine Konstante M, so dass
    gilt abs(cos(x)-1-x^2/2+x^4/24-x^6/720) <= M*x^8;  fuer alle x in U.

    Beim zweiten Befehl haben wir ebenfalls ein richtiges Ergebnis (naemlich dasselbe)
    erhalten.

    Beim dritten Befehl ist das Ergebnis jedoch nicht optimal: Das Restglied ist nicht nur
    O(x^9) sondern O(x^10) wie beim vierten Befehl, weil der Term mit x^9 verschwindet!

    Aussserdem ist ersichtlich, dass Werte von n, die keine Zahlen sind, zurueckgewiesen werden.

    Wir haben bereits in Paragraph 3 gesehen, dass das Ergebnis die Struktur "series" hat.
    > %;
    > whattype(%);
    Der Befehl "series"
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    > ?series
    > series(cos(x),x=0,7);
    > series(cos(x),x=0,8);
    > series(cos(x),x=0,9);
    > series(cos(x),x=0,10);
    > series(cos(x),x=0,11);
    > series(cos(x),x=0,12);
    Auch hier gibt es mal richtige und mal zu grobe Ergebnisse.

    Es ist zu empfehlen, die Hilfetexte zu "taylor" und "series" genau zu studieren, bevor man
    diese Befehle intensiv nutzt.

    Weiter gibt es verschiedene Maple-Befehle im package "powseries" und den Befehl
    > ?coeftayl
    > readlib(coeftayl);
    > coeftayl(cos(x),x=0,0);
    > coeftayl(cos(x),x=0,1);
    > coeftayl(cos(x),x=0,2);
    > coeftayl(cos(x),x=0,200);
    > coeftayl(cos(x),x=0,n);
    Auch hier kann keine unendliche Reihe aus einer gegebenen Funktion errechnet werden
    und keine n-te Ableitung mit symbolischem n.

    Das Share-Package "FPS"
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    Wesentlich effektiver ist eine Gruppe von Befehlen, die ausserhalb des Standard-Apparats
    in der Share-library untergebracht ist (d.h. von Maple-Benutzern geschrieben, nicht vom
    Maple- Entwickler-Team):
    > ?share
    > with(share);
    > ?share,contents
    > with(FPS):
    Bemerkung: sollte die Fehlermeldung
    > with(FPS):
     erscheinen, so ist versehentlich das FPS-package ein zweites mal geladen worden.
    > ?FPS
    > FPS(cos(x),x=0);
    > FPS(exp(x),x=0);
    > FPS(exp(x),x=1);
    > FPS(exp(x^3),x=0);
    >
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    Uebungsaufgabe:
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    Man schreibe ein Maple-Programm, das zu einer gegebenen Funktion f oder einem
    Ausdruck f(x) und einer Stelle x[0];  die n-te Ableitung von f an der Stelle x[0]; liefert.
    Dabei soll fuer n ein symbolischer Wert (nat.Zahl) zulaessig sein.

    Ergebnisse bitte als Text-file per e-mail an: goerlich@mathA.rwth-aachen.de