[~/ANA00/03.txt]
  2) Verwendung von Listen zum Plotten einer in rationalen Punkten unstetigen Funktion
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  In Analysis I, Uebung 13, Aufgabe 2 war verlangt:

  Man zeige:
  Die Funktion f(x), definiert durch

  f(x) = 0, falls x reell und nicht rational ist,
  f(x) = 1/q, falls x = p/q rational ist mit teilerfremden ganzen Zahlen p, q, und q > 0,

  ist stetig x, falls x reell und nicht rational ist, und unstetig in x, fass x rational ist.
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  Wir schreiben ein Programm "beisp", das eine Liste von Koordinatenpaaren der Form
  [x, f(x)] = [p/q, 1/q] erzeugt fuer q=2, ... , n und p=1, ... , q mit n >=3.
  Solch eine Liste ist fuer den "plot"-Befehl geeignet.

  Wir beschraenken uns dabei auf das Intervall (0,1) und stellen nur die Werte
  in den rationalen Punkten dar, weil alle anderen Werte =0 sind.

  Der Graph der Funktion besteht fuer die rationalen x in (0,1) aus den
  Punkten (hier als Listen geschrieben):
  [1/2,1/2],                                                       falls q=2
  [1/3,1/3], [2/3,1/3],                                            falls q=3,
  [1/4,1/4], [3/4, 1/4],                                           falls q=4,
  [1/5,1/5], [2/5,1/5], [3/5,1/5], [4/5,1/5],                      falls q=5,
  u.s.w.,
  und fuer die irrationalen x aus den Punkten [x,0]. Die Punkte werden hier also nicht nach
  wachsender Groesse von x geordnet sondern nach wachsendem Nenner q.
  Fuer n=q=2 haben wir also nur einen einzigen Punkt. Wir lassen deshalb nue Werte n>=3 zu.

  Das folgende Programm hat eine lokale Variable "result", die als Speicher fuer
  Zwischenergebnisse dient.
  Dort wird zu Beginn der erste Punkt [1/2,1/2] in Form einer einelementigen Liste [[1/2,1/2]]
  gespeichert.
  Dann wird diese Liste schrittweise erweitert durch neue Werte B mittels des Befehls
  result:=[op(result),B].
  Dabei verwenden wir den Befehl "gcd(p,q)>1" zum Eliminieren der Paare p,q, deren groesster
  gemeinsamer Teiler (gcd, greatest common divisor) groesser als 1 ist, d. h. die NICHT
  teilerfremd sind.
  > beisp:=proc(n) local p, q, result, B;  if n <3 then FAIL else result:=[[1/2, 1/2]];
  > for q from 3 to n do for p from 1 to q do if gcd(p,q) > 1 then FAIL else B:=[ p/q, 1/q];
  > result:=[op(result),B]; fi; od; od; fi; result; end;
  Probe mit n=5:
  > beisp(5);
  Der "plot"-Befehl akzeptiert solch eine Liste von Koordinatenpaaren und druckt sie als Punkte,
  wenn die Option "style=point" gesetzt wird. Als Symbol fuer den einzelnen Punkt kann
  gewaehlt werden: BOX, CROSS, CIRCLE, POINT, oder DIAMOND, vgl.:
  > ?plot[options]
  > plot(beisp(10), style=point, symbol=DIAMOND);
  > plot(beisp(100), style=point, symbol=POINT);
  30 Sekunden auf Daphne.
  Anzahl der Punkte fuer n=100:
  > nops(beisp(100));
  Dieses Bild ist durch die Funktionswerte [x,f(x)] mit 0 <= f(x); < 1/100 zu ergaenzen.